Etude d'une fonction — Terminale TSE

Énoncé

Étudier la fonction :

$$ f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x+2} $$

Sommaire

1. Domaine de définition
2. Simplification
3a. Limites et asymptotes
3b. Limites et asymptotes
4. Dérivée et variations
5. Extremums
6. Signe de la fonction
7. Tableaux pédagogiques
8. Représentation graphique

1. Domaine de définition

La fonction est définie pour tous les réels sauf ceux qui annuleraient le dénominateur :

$$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $$

Donc :

$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$

2. Simplification de l'expression

Factorisation du numérateur :

$$ x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) $$

Donc :

$$ f(x) = \frac{(x+3)(x-1)}{x+2} $$

3a. Limites et asymptotes

1. Limites à l'infini :

$$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x - 3}{x+2} = \pm\infty $$

Pour l'asymptote oblique, on effectue la division euclidienne :

$$ \frac{x^2 + 2x - 3}{x+2} = x - \frac{3}{x+2} \implies y = x $$

2. Limite en $ x \to -2 $ :

$$ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty $$

Donc asymptote verticale : $ x=-2 $

3b. Note : Asymptote oblique

Pour déterminer l'asymptote oblique de la fonction :

$ f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x+2} $

Comme le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, on effectue la division euclidienne :

\[ \text{Division : } \quad x^2 + 2x - 3 \div (x + 2) \]

Étapes :

Diviser le terme principal : $ x^2 ÷ x = x $
Multiplier et soustraire : $(x^2 + 2x - 3) - (x^2 + 2x) = -3$
Résultat : $ f(x) = x - \frac{3}{x+2} $

Quand $ x \to \pm\infty $, le terme $-3/(x+2) \to 0$, donc :

$ y = x $

L’asymptote oblique est donc la droite $ y = x $.

4. Dérivation et analyse du signe de $ f'(x) $

Fonction :

On considère la fonction rationnelle : \[ f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 2} \] On applique la règle du quotient pour calculer la dérivée.

Étapes de calcul

Formule de la dérivée :

Soit $ u(x) = x^2 + 2x - 3 $ et $ v(x) = x + 2 $.
Alors $ u'(x) = 2x + 2 $ et $ v'(x) = 1 $.
Selon la formule du quotient : \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

En remplaçant $u(x)$ et $v(x)$ :

\[ f'(x) = \frac{(2x + 2)(x + 2) - (x^2 + 2x - 3)}{(x + 2)^2} \]

Développement du numérateur

\[ (2x + 2)(x + 2) = 2x^2 + 6x + 4 \] En soustrayant le second terme : \[ (2x^2 + 6x + 4) - (x^2 + 2x - 3) = x^2 + 4x + 7 \]

Résultat final

\[ \boxed{f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 7}{(x + 2)^2}} \]

Analyse du signe de $ f'(x) $

Le dénominateur $(x + 2)^2 > 0$ pour tout $x \neq -2$. Le numérateur $x^2 + 4x + 7$ a un discriminant négatif : \[ \Delta = 4^2 - 4(1)(7) = -12 < 0 \]

Le numérateur $x^2 + 4x + 7 > 0$ est toujours positif car son discriminant est négatif : $ \Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 7 = 16 - 28 < 0 $. Donc $ f'(x) > 0 $ pour tout $ x \in \mathcal{D}_f $.

Conclusion

Ainsi, $ f'(x) > 0 $ pour tout $x \neq -2$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur chacun des intervalles : \[ (-\infty, -2) \quad \text{et} \quad (-2, +\infty) \]

\[ \text{La fonction est strictement croissante sur } \mathbb{R} \setminus \{-2\}. \]

Elle admet une asymptote verticale en $x = -2$ et une asymptote oblique $y = x$.

5. Extremums

La fonction est strictement croissante et le domaine est séparé par l'asymptote verticale $x=-2$. Il n’y a pas d’extremums globaux. Limites :

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (suit l'asymptote oblique $y = x$)
$\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$ (s'approche de l'asymptote verticale par la gauche)
$\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$ (s'approche de l'asymptote verticale par la droite)
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (suit l'asymptote oblique $y = x$)

6. Signe de la Fonction $f(x)$

la présentation du Tableau de Signe de la fonction $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x+2}$.

Numérateur factorisé : $(x-1)(x+3)$, dénominateur : $x+2$.

$$ f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{x+2} $$

Étude du numérateur et du dénominateur

Numérateur ($N(x)$) : $x^2 + 2x - 3$

Les racines sont $x_1 = -3$ et $x_2 = 1$.

Forme factorisée : $\mathbf{x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)}$

C'est une parabole tournée vers le haut, donc $N(x) > 0$ à l'extérieur des racines.

Dénominateur ($D(x)$) : $x+2$

Le dénominateur s'annule pour $x = -2$.

Tableau de Signe

x	-∞	-3	-2	1	+∞
Signe de $x+3$	-	0	+	+	+
Signe de $x-1$	-	-	-	0	+
Signe de $N(x)$	+	0	-	0	+
Signe de $x+2$	-	-	0	+	+
Signe de $f(x)$	-	0	+	0	+

Interprétation

La fonction $f(x)$ change de signe aux racines (où elle s'annule) et à l'asymptote verticale (où elle n'est pas définie).

Pour $x < -3$ : $f(x) < 0$
Pour $-3 < x < -2$ : $f(x) > 0$
Pour $-2 < x < 1$ : $f(x) < 0$
Pour $x > 1$ : $f(x) > 0$

Résumé : $f(x)$ est négative sur $]-\infty, -3[ \cup ]-2, 1[$ et positive sur $]-3, -2[ \cup ]1, +\infty[$.

7 Tableau de variation

x	−∞	-3	-2	1	+∞
f'(x)	+	0	+	0	+
f(x)	−∞	0	±∞	0	+∞
Signe de f(x)	-	0	+	0	+

8. Représentation graphique

Tracer l’asymptote verticale : $x=-2$
Tracer l’asymptote oblique : $y=x$
Repérer les intervalles où la fonction est positive ou négative
Montrer la croissance stricte sur chaque intervalle

Note explicative : Discriminant et racines d'une équation quadratique

Les formules pour le discriminant (Δ) et les racines (x₁ et x₂) sont utilisées pour résoudre une équation quadratique (du second degré) de la forme générale :

$ ax^2 + bx + c = 0 $

où $ a $, $ b $ et $ c $ sont des coefficients réels et $ a \neq 0 $.

Formule du Discriminant (Δ)

Le discriminant est calculé ainsi :

$ \Delta = b^2 - 4ac $

La valeur du discriminant détermine le nombre de solutions réelles de l'équation :

Si $ \Delta > 0 $, il y a deux racines réelles distinctes.
Si $ \Delta = 0 $, il y a une seule racine réelle (dite racine double).
Si $ \Delta < 0 $, il n'y a aucune racine réelle (mais deux racines complexes conjuguées).

Formules des Racines

Les racines se calculent à l’aide de la formule suivante :

$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $

Cas particuliers :

Δ > 0 : deux racines réelles distinctes.
Δ = 0 : une racine double $ x_0 = \dfrac{-b}{2a} $.
Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées.

Exemple d'application

Pour l'équation du second degré $ x^2 + 2x - 3 = 0 $, on identifie les coefficients :

$ a = 1 $
$ b = 2 $
$ c = -3 $

Discriminant (Δ)

La formule du discriminant est $ \Delta = b^2 - 4ac $.

$ \Delta = (2)^2 - 4(1)(-3) $
$ \Delta = 4 - (-12) $
$ \Delta = 4 + 12 $
$ \Delta = 16 $

Puisque $ \Delta > 0 $, l'équation admet deux racines réelles distinctes.

Racines ($x_1$ et $x_2$)

La formule des racines est :

$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $

$ x = \dfrac{-(2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} $
$ x = \dfrac{-2 \pm 4}{2} $

Calcul de la première racine ($x_1$) :

$ x_1 = \dfrac{-2 - 4}{2} = \dfrac{-6}{2} $
$ x_1 = -3 $

Calcul de la seconde racine ($x_2$) :

$ x_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = \dfrac{2}{2} $
$ x_2 = 1 $

Résultat final :

Les racines du polynôme $ x^2 + 2x - 3 $ sont donc :
$ x_1 = -3 $ et $ x_2 = 1 $.

💡 Remarque : Ces formules sont universelles pour toute équation du second degré et peuvent être utilisées dans divers domaines : géométrie analytique, physique, économie, etc.

x	-∞	-3	-2	1	+∞
Signe de \(x+3\)	-	0	+	+	+
Signe de \(x-1\)	-	-	-	0	+
Signe de \(N(x)\)	+	0	-	0	+
Signe de \(x+2\)	-	-	0	+	+
Signe de \(f(x)\)	-	0	+	0	+