VAN, TRI et DCF — Formules, Légendes et Exemples Détaillés
1. Valeur Actuelle Nette (VAN) — Net Present Value (NPV)
La VAN mesure la valeur nette créée par un projet d’investissement après actualisation de tous les flux de trésorerie futurs au taux exigé \(r\).
Une VAN positive signifie que le projet génère plus que le coût du capital ; une VAN négative indique que le projet détruit de la valeur.
\[
\mathrm{VAN} = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_{t}}{(1+r)^{t}} - I_{0}
\]
Légende : \(CF_t\) = flux de trésorerie à l’année t, \(r\) = taux d’actualisation, \(I_0\) = investissement initial.
Exemples détaillés :
Exemple 1 : Projet à flux constants.
Énoncé : Investissement initial : \(I_0 = 10\ 000\ \text{€}\), flux annuels : \(CF_1 = CF_2 = CF_3 = 4\ 000\ \text{€}\), taux d’actualisation : \(r = 10\%\).
Étapes de calcul :
1. Actualiser chaque flux :
\( CF_1/(1+r)^1 = 4\ 000 / 1.10 \approx 3\ 636,36 \)
\( CF_2/(1+r)^2 = 4\ 000 / 1.10^2 \approx 3\ 305,79 \)
\( CF_3/(1+r)^3 = 4\ 000 / 1.10^3 \approx 3\ 005,26 \)
2. Somme des flux actualisés : \(3\ 636,36 + 3\ 305,79 + 3\ 005,26 = 9\ 947,41\)
3. Soustraire l’investissement initial : \(-10\ 000 + 9\ 947,41 \approx -52,59\)
Interprétation : VAN légèrement négative → projet quasi neutre, à réévaluer.
Exemple 2 : Flux annuels augmentés à 4 500 €/an.
Étapes :
\( CF_1/(1+r)^1 = 4 500 / 1.10 \approx 4 090,91 \)
\( CF_2/(1+r)^2 \approx 3 719,01 \)
\( CF_3/(1+r)^3 \approx 3 380,01 \)
Somme = 11 189,93 ; VAN = -10 000 + 11 189,93 = 1 189,93 ≈ 1 190 €
Interprétation : VAN positive → projet rentable.
Exemple 3 : Flux inégaux \(CF_1=3 000, CF_2=5 000, CF_3=7 000\), \(I_0=12 000\), \(r=8\%\).
Étapes :
\(3 000 / 1.08 \approx 2 777,78\), \(5 000 / 1.08^2 \approx 4 287,36\), \(7 000 / 1.08^3 \approx 5 555,38\)
Somme des flux actualisés = 12 620,52 ; VAN = -12 000 + 12 620,52 ≈ 620 €
Interprétation : VAN positive → projet rentable.
Exemple 4 : Projet à flux mensuels sur 3 ans.
Énoncé :
- Investissement initial : \(I_0 = 50 000\ \text{€}\)
- Flux mensuels : \(CF_m = 1 500\ \text{€/mois}\)
- Durée : 3 ans (36 mois)
- Taux d’actualisation annuel : \(r = 12\%\)
→ taux mensuel \(r_m = \frac{0.12}{12} = 0.01\)
Étapes de calcul :
1. Calculer le taux d’actualisation mensuel :
\[
r_m = \frac{r}{12} = 0.12 / 12 = 0.01
\]
2. Actualiser chaque flux mensuel :
\[
\text{Flux actualisé au mois } m = \frac{CF_m}{(1 + r_m)^m}
\]
3. Calculer la VAN totale :
\[
\mathrm{VAN} = \sum_{m=1}^{36} \frac{1 500}{(1 + 0.01)^m} - 50 000
\]
4. Somme des flux actualisés (approximation) :
- Mois 1 : \(1 500 / 1.01^1 \approx 1 485,15\)
- Mois 2 : \(1 500 / 1.01^2 \approx 1 470,44\)
- ...
- Mois 36 : \(1 500 / 1.01^{36} \approx 1 101,02\)
\(\sum_{m=1}^{36} CF_m/(1+r_m)^m \approx 53 045\)
5. Soustraire l’investissement initial :
\[
\mathrm{VAN} = 53 045 - 50 000 \approx 3 045\ \text{€}
\]
Interprétation : VAN positive → projet rentable.
2. Taux de Rendement Interne (TRI) — Internal Rate of Return (IRR)
Le TRI est le taux d’actualisation qui rend la VAN nulle. Il permet d’évaluer le rendement relatif d’un projet par rapport au coût du capital.
\[
0 = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+\mathrm{TRI})^t} - I_0
\]
Légende : Le TRI est le taux qui rend la VAN égale à zéro.
Exemples détaillés avec itérations :
Exemple 1 : \(I_0 = 10 000\), flux constants 4 000 €/an pendant 4 ans.
Itération manuelle :
1. Choisir un taux d’approximation initial \(r_0 = 10\%\)
2. Calcul VAN :
\(\mathrm{VAN}_{r_0} \approx 1 080\)
→ VAN > 0 → taux trop bas, augmenter le taux.
3. Nouvelle approximation \(r_1 = 25\%\)
\(\mathrm{VAN}_{r_1} \approx -554\)
→ VAN < 0 → taux trop élevé, ajuster à mi-chemin.
4. Interpolation linéaire → TRI ≈ 21,86 %
Interprétation : projet rentable.
Exemple 2 : Flux inégaux \(I_0 = 12 000, CF_1=4 000, CF_2=5 000, CF_3=7 000\)
Itération :
1. Essai initial \(r_0 = 10\%\) : VAN ≈ 620 → taux trop bas.
2. Essai \(r_1 = 15\%\) : VAN ≈ -377 → taux trop élevé.
3. Interpolation linéaire → TRI ≈ 13,4 %
Interprétation : projet modérément rentable.
Exemple 3 : Comparaison : Projet A (VAN = 2 500 €, TRI = 15 %) vs Projet B (VAN = 1 800 €, TRI = 18 %)
Étapes :
• Priorité à la valeur absolue → choisir A
• Priorité au rendement relatif → choisir B
3. Méthode DCF et Valeur Terminale — Discounted Cash Flow (Flux de Trésorerie Actualisés)
La méthode DCF valorise un projet ou une entreprise en actualisant les flux futurs et en incluant la valeur terminale pour la période finale.
\[
\mathrm{Valeur} = \sum_{t=1}^{n} \frac{FCF_t}{(1+r)^t} + \frac{VT}{(1+r)^n}
\]
Légende :
- \(FCF_t\) = flux de trésorerie libre à l’année t
- \(r\) = taux d’actualisation ou coût du capital
- \(VT\) = valeur terminale à la fin de la période n
- \(g\) = taux de croissance des flux après la période projetée
Calcul de la valeur terminale (VT)
Deux méthodes :
- Croissance perpétuelle : \(VT = \frac{CF_{n+1}}{r - g}\)
- Multiple de sortie : \(VT = \text{Multiple} \times \text{Indicateur financier (ex: EBITDA)}\)
Exemple DCF complet :
FCF sur 4 ans : 10 000, 12 000, 14 000, 15 000 ; \(r=10\%, g=3\%\)
- VT (fin année 4) : \(V_4 = \frac{15 000 \times 1.03}{0.10-0.03} \approx 220 714\)
- Actualisation flux et VT : 10 000/1.10 ≈ 9 091 ; 12 000/1.10² ≈ 9 917 ; 14 000/1.10³ ≈ 10 526 ; 15 000/1.10⁴ ≈ 10 239 ; VT/1.10⁴ ≈ 150 993
- Somme = 190 766 €
Interprétation : Projet valorisé correctement selon DCF, VT incluse.
4. Tableau de synthèse
| Concept | Nom anglais | Formule principale | Objectif | Indicateur |
| VAN |
NPV |
\(\sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} - I_0\) |
Mesure la valeur créée |
Valeur absolue |
| TRI |
IRR |
Taux \(r\) tel que VAN = 0 |
Évalue la rentabilité relative |
Pourcentage |
| DCF |
Discounted Cash Flow |
\(\sum_{t=1}^{n} \frac{FCF_t}{(1+r)^t} + \frac{VT}{(1+r)^n}\) |
Valorisation d’entreprise |
Valeur totale |
