Combinaison et Arrangement — Formules et Exemples
1. Arrangement (ordre important)
Un arrangement est un ensemble de \(k\) éléments choisis parmi \(n\) éléments distincts, où l’ordre compte.
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Exemples :
- Tirer 2 cartes dans un jeu de 52 cartes : \(A_{52}^{2} = 52 \times 51 = 2652\)
- Former un mot de 3 lettres parmi 5 : \(A_{5}^{3} = 60\)
- Choisir président, vice-président et secrétaire parmi 10 personnes : \(A_{10}^{3} = 720\)
2. Permutation
Une permutation est un arrangement de \(n\) éléments distincts où l’on utilise tous les éléments.
\( P_n = n! \)
Exemples :
- Ranger 4 livres différents : \(P_4 = 4! = 24\)
- Classer 6 coureurs dans une course : \(P_6 = 720\)
- Mots possibles avec les lettres A, B, C : \(P_3 = 6\)
3. Combinaison (ordre non important)
Une combinaison est un ensemble de \(k\) éléments choisis parmi \(n\) éléments distincts, où l’ordre n’a pas d’importance.
\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Exemples :
- Choisir 2 cartes dans un jeu de 52 cartes : \(C_{52}^{2} = 1326\)
- Choisir 3 fruits parmi 5 : \(C_5^3 = 10\)
- Former un comité de 4 personnes parmi 10 : \(C_{10}^{4} = 210\)
4. Résumé comparatif
| Type |
Ordre |
Formule |
Exemple |
| Arrangement |
Important |
\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) |
Tirer 2 cartes, ordre important |
| Permutation |
Tous les éléments, ordre important |
\(P_n = n!\) |
Ranger 4 livres |
| Combinaison |
Pas important |
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) |
Choisir 2 cartes sans ordre |
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